目次
整式の整理とは？
整式とは、文字と数を用いた式で、指数が自然数の項の和で表されるものです。例として次のようなものがあります：
- \( 3x + 2 \)
- \( x^2 – 5x + 6 \)
- \( -4a^2b + 3ab^2 – 7 \)
整式の整理とは、同類項をまとめたり、展開したり、文字の順番を整えたりして、式をより見やすく・扱いやすくすることです。
基本となる考え方
整式の整理には主に次のような操作があります：
- 同類項をまとめる：係数を計算するだけ
- 符号に注意する：特に引き算の後ろの式に注意
- 展開する：乗法公式を用いてかけ算を展開
- 次数の高い順に整理：見やすくするための整頓
このような整理に慣れることで、因数分解や方程式の計算などもスムーズになります。
例題1：同類項の整理
例題：
次の式を整理しなさい。
\[ 3x + 5x – 2x \]
次の式を整理しなさい。
\[ 3x + 5x – 2x \]
解き方：
同じ文字（ここでは \(x\)）を含む項は同類項です。それぞれの係数を足し合わせます。 \[ 3x + 5x – 2x = (3 + 5 – 2)x = 6x \]
同じ文字（ここでは \(x\)）を含む項は同類項です。それぞれの係数を足し合わせます。 \[ 3x + 5x – 2x = (3 + 5 – 2)x = 6x \]
例題2：符号に注意した加減
例題：
次の式を整理しなさい。
\[ (2x^2 – 3x + 4) – (x^2 + x – 1) \]
次の式を整理しなさい。
\[ (2x^2 – 3x + 4) – (x^2 + x – 1) \]
解き方：
括弧を外すとき、符号を変えることに注意します。 \[ = 2x^2 – 3x + 4 – x^2 – x + 1 \] \[ = (2x^2 – x^2) + (-3x – x) + (4 + 1) \] \[ = x^2 – 4x + 5 \]
括弧を外すとき、符号を変えることに注意します。 \[ = 2x^2 – 3x + 4 – x^2 – x + 1 \] \[ = (2x^2 – x^2) + (-3x – x) + (4 + 1) \] \[ = x^2 – 4x + 5 \]
例題3：乗法公式を使った展開
例題：
次の式を展開しなさい。
\[ (x + 3)^2 \]
次の式を展開しなさい。
\[ (x + 3)^2 \]
解き方：
乗法公式 \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) を使います。 \[ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \]
乗法公式 \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) を使います。 \[ (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9 \]
例題4：複雑な整式の整理
例題：
次の式を整理しなさい。
\[ (2x + 1)(x – 4) + x(x + 3) \]
次の式を整理しなさい。
\[ (2x + 1)(x – 4) + x(x + 3) \]
解き方：
まず、それぞれの積を展開します。 \[ (2x + 1)(x – 4) = 2x^2 – 8x + x – 4 = 2x^2 – 7x – 4 \] \[ x(x + 3) = x^2 + 3x \] \[ 全体を足し合わせると、 \] \[ 2x^2 – 7x – 4 + x^2 + 3x = (2x^2 + x^2) + (-7x + 3x) – 4 = 3x^2 – 4x – 4 \]
まず、それぞれの積を展開します。 \[ (2x + 1)(x – 4) = 2x^2 – 8x + x – 4 = 2x^2 – 7x – 4 \] \[ x(x + 3) = x^2 + 3x \] \[ 全体を足し合わせると、 \] \[ 2x^2 – 7x – 4 + x^2 + 3x = (2x^2 + x^2) + (-7x + 3x) – 4 = 3x^2 – 4x – 4 \]
発展：文字が複数ある場合の整理
例題：
次の式を整理しなさい。
\[ 3ab – 2a^2 + 4ab + a^2 – b^2 \]
次の式を整理しなさい。
\[ 3ab – 2a^2 + 4ab + a^2 – b^2 \]
解き方：
同類項をまとめます。 \[ (3ab + 4ab) + (-2a^2 + a^2) – b^2 = 7ab – a^2 – b^2 \]
同類項をまとめます。 \[ (3ab + 4ab) + (-2a^2 + a^2) – b^2 = 7ab – a^2 – b^2 \]
このように、整式の整理では同類項を意識すること、符号の変化に注意すること、乗法公式を活用することが基本になります。繰り返し練習することで自然と身についてきます。
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