目次
- 基本となる考え方
- 例題1：\((a + b)^2\) の展開
- 例題2：\((a + b)^3\) の展開
- 例題3：\((x + 2)^4\) の展開
- 例題4：\((2x – 3)^5\) の展開
- 発展1：任意の項の係数を求める
- 発展2：項の個数や最大の項
- 発展3：負の数や複数変数の展開
基本となる考え方
多項式の展開、特に \((a + b)^n\) の形を展開するときには「パスカルの三角形」と呼ばれる三角形が非常に役立ちます。 この展開は「二項定理（二項展開）」という公式に基づいて行われます。
まず、\((a + b)^n\) の展開公式を一般形で表すと次のようになります：
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]ここで登場する \(\binom{n}{k}\)（読み方：にのコンビネーションけー）は二項係数と呼ばれます。これは「n個からk個選ぶ組み合わせの数」で、次のように計算されます：
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]この二項係数を視覚的に整理したものが「パスカルの三角形」です。
パスカルの三角形とは？
例えば以下のように表せます：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
各段の数は、直前の段の左右の数を足して作られます。たとえば「6」は「3+3」でできています。
この数列はそのまま \((a + b)^n\) の各項の係数になります。
例題1：\((a + b)^2\) の展開
問題： \((a + b)^2\) を展開せよ。
解説：
パスカルの三角形の2段目は「1 2 1」。
\[ (a + b)^2 = \binom{2}{0}a^2b^0 + \binom{2}{1}a^1b^1 + \binom{2}{2}a^0b^2 \] \[ = 1 \cdot a^2 + 2 \cdot ab + 1 \cdot b^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]例題2：\((a + b)^3\) の展開
問題： \((a + b)^3\) を展開せよ。
解説：
パスカルの三角形の3段目は「1 3 3 1」。
\[ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]例題3：\((x + 2)^4\) の展開
問題： \((x + 2)^4\) を展開せよ。
解説：
パスカルの三角形の4段目は「1 4 6 4 1」。
\[ (x + 2)^4 = 1 \cdot x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot 2 + 6 \cdot x^2 \cdot 4 + 4 \cdot x \cdot 8 + 1 \cdot 16 \] \[ = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16 \]例題4：\((2x – 3)^5\) の展開
問題： \((2x – 3)^5\) を展開せよ。
解説：
パスカルの三角形の5段目は「1 5 10 10 5 1」。
マイナス符号は \((-3)^k\) の形でそのまま指数にかかります。
発展1：任意の項の係数を求める
\((a + b)^n\) の中で、\((n+1)\)個の項があり、それぞれの項の係数は：
\[ \text{第 }(k+1)\text{ 項} = \binom{n}{k} a^{n-k}b^k \]例えば、\((x + y)^7\) の中の第4項（\(k = 3\)）の係数は：
\[ \binom{7}{3} = 35,\quad \text{項は } x^4y^3 \]発展2：項の個数や最大の項
\((a + b)^n\) の展開では、項の個数は常に \(n+1\) 個です。 また、すべての項の係数の合計は \(a = b = 1\) を代入したときの値と等しいので、\((1+1)^n = 2^n\) になります。
例：\((x + y)^6\) の係数の合計は \(2^6 = 64\)
発展3：負の数や複数変数の展開
二項展開は負の数、文字が複数でも応用可能です。
- \((x – y)^n\)：偶数乗の項は正、奇数乗の項は負になります。
- \((2a + 3b)^4\)：各項に定数をそのままかけて計算できます。
これらの応用をマスターすることで、大学入試レベルの数学にも対応できます。
コメント