目次
整式の展開の基本となる考え方
展開とは、かっこの中にある式を掛け算などのルールに従って、文字と数字の項だけの形に書き直すことです。これは「分配法則」という考え方が基本になります。
例えば、\((a + b)c\) のような形は、\(ac + bc\) に展開できます。
このように、かっこの外の項を中のすべての項にかけることで式を整理します。
例題： \((x + 2)(x + 3)\) を展開せよ。
解説：
まず、\(x + 2\) の各項に、\(x + 3\) の各項をかけます。
\[ (x + 2)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = x^2 + 3x + 2x + 6 \] \[ = x^2 + 5x + 6 \] このように、順番に丁寧に掛け算して、同類項をまとめるのがポイントです。
まず、\(x + 2\) の各項に、\(x + 3\) の各項をかけます。
\[ (x + 2)(x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = x^2 + 3x + 2x + 6 \] \[ = x^2 + 5x + 6 \] このように、順番に丁寧に掛け算して、同類項をまとめるのがポイントです。
公式を使わない展開：かけ算の分配法則
分配法則とは、\((a + b)c = ac + bc\) のように、かっこの中の項すべてにかっこの外の項をかけるというルールです。これは最も基本的な展開の考え方です。
例題： \((2x – 5)(3x + 4)\) を展開せよ。
解説：
\[ (2x – 5)(3x + 4) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot 4 – 5 \cdot 3x – 5 \cdot 4 \] \[ = 6x^2 + 8x – 15x – 20 = 6x^2 – 7x – 20 \]
\[ (2x – 5)(3x + 4) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot 4 – 5 \cdot 3x – 5 \cdot 4 \] \[ = 6x^2 + 8x – 15x – 20 = 6x^2 – 7x – 20 \]
2乗の展開公式 \((a \pm b)^2\)
2乗の展開公式は以下のとおりです：
- \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
これらは和と差の2乗として非常によく使うので、必ず暗記しましょう。
式を見て「2乗＝真ん中が2ab」と思い出せばOKです。
例題： \((3x – 2)^2\) を展開せよ。
解説：
\[ (3x – 2)^2 = (3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 – 12x + 4 \]
\[ (3x – 2)^2 = (3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 – 12x + 4 \]
3乗の展開公式の復習と応用
3乗の公式は次の通りです：
- \((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
- \((a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\)
この形もよく出てきます。係数が「1：3：3：1」になるのがポイントです。
例題： \((x + 2)^3\) を展開せよ。
解説：
\[ (x + 2)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]
\[ (x + 2)^3 = x^3 + 3x^2 \cdot 2 + 3x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]
その他の展開公式
以下の2つの公式は、和と差の積を使った因数分解と展開の両方に使えます：
- \((a + b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3\)
- \((a – b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 – b^3\)
例題： \((2x + 3)(4x^2 – 6x + 9)\) を展開せよ。
解説：
この式は \(a = 2x, b = 3\) のときの \(a^3 + b^3\) の公式に一致します。
\[ = (2x)^3 + 3^3 = 8x^3 + 27 \]
この式は \(a = 2x, b = 3\) のときの \(a^3 + b^3\) の公式に一致します。
\[ = (2x)^3 + 3^3 = 8x^3 + 27 \]
発展問題とその解説
発展例題1： \((x + y)^4\) を展開せよ。
解説：
これは公式がないので、\((x + y)^2 \cdot (x + y)^2\) として計算します。
\[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] なので、 \[ (x + y)^4 = (x^2 + 2xy + y^2)^2 \] これを展開すると、 \[ x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \]
これは公式がないので、\((x + y)^2 \cdot (x + y)^2\) として計算します。
\[ (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \] なので、 \[ (x + y)^4 = (x^2 + 2xy + y^2)^2 \] これを展開すると、 \[ x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4 \]
発展例題2： \(a^2b^2 – (a + b)^2\) を展開して整理せよ。
解説：
まず \((a + b)^2\) を展開： \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] よって全体の式は： \[ a^2b^2 – (a^2 + 2ab + b^2) \] これは整理して、 \[ a^2b^2 – a^2 – 2ab – b^2 \]
まず \((a + b)^2\) を展開： \[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \] よって全体の式は： \[ a^2b^2 – (a^2 + 2ab + b^2) \] これは整理して、 \[ a^2b^2 – a^2 – 2ab – b^2 \]
発展例題3： \((x – 1)^3 + (x + 1)^3\) を展開して整理せよ。
解説：
まず個別に展開： \[ (x – 1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1,\quad (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \] これを加えると： \[ 2x^3 + 6x \]
まず個別に展開： \[ (x – 1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1,\quad (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \] これを加えると： \[ 2x^3 + 6x \]
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