「高校数学 展開公式」は、二次関数・方程式・不等式・微分積分・確率など、あらゆる分野の計算土台になります。 この記事では、よく出る展開公式を“覚えるだけで終わらせず”、ミスを減らすための考え方・見分け方・練習問題までまとめます。 数式はすべてMathJax対応（\( \) / \[ \]）です。
1. 展開公式とは（まずここだけ）
展開とは、積で表された式を、足し算・引き算の形に直すことです。 基本は分配法則（中学の内容）で、たとえば
\[(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd\]
展開公式は、この分配法則の結果を「よく使う形」としてパターン化したものです。
2. 高校数学で頻出の展開公式一覧（最重要）
2-1. 平方の公式（最頻出）
| 形 | 展開公式 | 一言ポイント |
|---|---|---|
| \((a+b)^2\) | \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) | 中項は \(2ab\) |
| \((a-b)^2\) | \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) | 中項は \(-2ab\) |
| \((a+b)(a-b)\) | \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) | 和と差＝平方差 |
2-2. 立方の公式（差が出る）
| 形 | 展開公式 | 一言ポイント |
|---|---|---|
| \((a+b)^3\) | \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) | 係数 \(1,3,3,1\) |
| \((a-b)^3\) | \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) | 符号が交互 |
2-3. 「すぐ使える」積の形（暗算が速い）
次の形は入試計算で頻出です。展開ミスが減り、計算も速くなります。
- \((x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq\)
- \((x+p)(x-q)=x^2+(p-q)x-pq\)
- \((ax+b)(cx+d)=ac\,x^2+(ad+bc)x+bd\)
3. 覚え方：分配法則→パターン化（丸暗記しない）
3-1. \((a+b)^2\) は「2回かける」だけ
\((a+b)^2\) は \((a+b)(a+b)\) なので、
\[ (a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2 \]
「真ん中の \(ab\) が2つ出る」→ \(2ab\) が一番のポイントです。
3-2. 立方の係数はパスカルの三角形
\((a+b)^3\) の係数 \(1,3,3,1\) はパスカルの三角形から出ます。 計算が苦手でも、係数だけ先に決めてから文字を当てはめるとミスが減ります。
\[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \]
3-3. 「和と差」は覚える価値が高い
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) は、式変形・因数分解・微分積分の簡略化にも直結します。 迷ったら分配で確認できます：
\[ (a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2 \]
4. よくあるミスと対策（符号・中項・係数）
-
ミス：\((a-b)^2=a^2-b^2\) としてしまう
対策：「平方は必ず \(+b^2\)」「中項が \(-2ab\)」をセットで覚える：\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) -
ミス：\((2x-3)^2\) の中項を \(-6x\) にできない
対策：「中項は \(2\cdot(2x)\cdot(-3)=-12x\)」。“2×前×後”で必ず計算する -
ミス：\((a-b)^3\) の符号が崩れる
対策：\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) の符号は交互（\(+,-,+,-\)）で固定
5. 例題：基本〜入試頻出
例題1（平方）：\((2x-3)^2\) を展開せよ
\[ (2x-3)^2=(2x)^2-2\cdot(2x)\cdot 3+3^2=4x^2-12x+9 \]
例題2（和と差）：\((x+5)(x-5)\) を展開せよ
\[ (x+5)(x-5)=x^2-25 \]
例題3（積の形）：\((x+2)(x-7)\) を展開せよ
\[ (x+2)(x-7)=x^2+(2-7)x+2\cdot(-7)=x^2-5x-14 \]
例題4（立方）：\((x-2)^3\) を展開せよ
\[ (x-2)^3=x^3-3x^2\cdot2+3x\cdot 2^2-2^3 =x^3-6x^2+12x-8 \]
例題5（係数付き二項）：\((3x+1)(2x-5)\) を展開せよ
\[ (3x+1)(2x-5)=6x^2+(-15x+2x)-5=6x^2-13x-5 \]
6. 練習問題（解答つき）
6-1. 基本（まずここ）
- \((x+4)^2\) を展開せよ。
- \((x-6)^2\) を展開せよ。
- \((x+3)(x-3)\) を展開せよ。
解答（クリックで表示）
1. \((x+4)^2=x^2+8x+16\)
2. \((x-6)^2=x^2-12x+36\)
3. \((x+3)(x-3)=x^2-9\)
6-2. 標準（入試頻出）
- \((2x+5)(x-4)\) を展開せよ。
- \((x-1)^3\) を展開せよ。
- \((x+7)(x+2)\) を展開せよ。
解答（クリックで表示）
1. \((2x+5)(x-4)=2x^2-8x+5x-20=2x^2-3x-20\)
2. \((x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1\)
3. \((x+7)(x+2)=x^2+9x+14\)
6-3. 発展（ミスが出やすい）
- \((3x-2)^2\) を展開せよ。
- \((2x-1)^3\) を展開せよ。
- \((ax+b)(ax-b)\) を展開せよ（\(a,b\) は定数）。
解答（クリックで表示）
1. \((3x-2)^2=9x^2-12x+4\)
2. \((2x-1)^3=(2x)^3-3(2x)^2(1)+3(2x)(1^2)-1
=8x^3-12x^2+6x-1\)
3. \((ax+b)(ax-b)=(ax)^2-b^2=a^2x^2-b^2\)
7. よくある質問（FAQ）
- Q1. 展開公式は全部暗記すべき？
- A. 最低限は「平方3つ」と「立方2つ」です。暗記だけでなく、分配法則で1度は導けるようにすると、符号ミスが激減します。
- Q2. \((a+b+c)^2\) も覚えるべき？
- A. 覚えなくてもOKですが、展開の形は押さえると便利です：\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)。 これは「2つずつの積が全部2倍」と考えると整理できます。
- Q3. 計算ミスが多い。コツは？
- A. 平方は「中項 \(2ab\)」、立方は「係数 \(1,3,3,1\) と符号」、積は「\((x+p)(x+q)\) の形」を先に決めてから手を動かすのが効きます。
8. まとめ（チェックリスト）
- 平方は \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)、\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)、\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
- 立方は \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)、\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
- 積の形は \((x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq\) を使うと速い
- ミス対策：平方の中項は「2×前×後」、立方の符号は「交互」を固定
ここまで押さえれば、「高校数学 展開公式」で困る場面はかなり減ります。 次に、因数分解や二次関数の問題にこの公式をどう使うか（応用編）も作れます。
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