目次
基本となる考え方
指数とは、同じ数を何回かけるかを表す記号です。例えば、 \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \) のように書きます。
指数にはいくつかの法則（ルール）があり、これを使うことで計算を効率的に行うことができます。
主な指数法則は以下の通りです：
- 同じ底の掛け算： \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
- 同じ底の割り算： \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)（ただし \( a \neq 0 \)）
- 累乗の累乗： \( (a^m)^n = a^{mn} \)
- 負の指数： \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
- 分数の指数： \( a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \)
例題1：指数の乗法
例題： \( 3^4 \cdot 3^2 \) を計算しなさい。
解き方：
底が同じ（3）なので、指数の部分を足します： \[ 3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 = 729 \]
底が同じ（3）なので、指数の部分を足します： \[ 3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 = 729 \]
例題2：指数の除法
例題： \( \frac{5^6}{5^2} \) を計算しなさい。
解き方：
底が同じ（5）なので、指数の部分を引きます： \[ \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625 \]
底が同じ（5）なので、指数の部分を引きます： \[ \frac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4 = 625 \]
例題3：累乗の累乗
例題： \( (2^3)^4 \) を計算しなさい。
解き方：
指数同士を掛けます： \[ (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} = 4096 \]
指数同士を掛けます： \[ (2^3)^4 = 2^{3 \times 4} = 2^{12} = 4096 \]
発展1：負の指数
例題： \( 4^{-2} \) を計算しなさい。
解き方：
負の指数は分数に直します： \[ 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \]
負の指数は分数に直します： \[ 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \]
発展2：分数の指数
例題： \( 9^{\frac{1}{2}} \) を計算しなさい。
解き方：
分数の指数はルートの形に変換できます： \[ 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 \]
分数の指数はルートの形に変換できます： \[ 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3 \]
発展3：応用的な指数計算
例題： \( (x^2 y^3)^4 \) を展開しなさい。
解き方：
各項に指数法則を適用します： \[ (x^2 y^3)^4 = x^{2 \times 4} y^{3 \times 4} = x^8 y^{12} \]
各項に指数法則を適用します： \[ (x^2 y^3)^4 = x^{2 \times 4} y^{3 \times 4} = x^8 y^{12} \]
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