【完全解説】整式の展開公式｜例題でしっかり理解！

整式の展開とは？基本となる考え方

整式の展開とは、かっこの中にある式を掛け算によって展開し、かっこをはずす作業のことです。展開された式は、より計算しやすく、また式の形を見やすくするために使われます。

展開を正しく行うためには、「分配法則」が基本となります。これは次のようなルールです：

\[ a(b + c) = ab + ac \]

また、よく使う「乗法公式」を覚えておくと、複雑な式でも素早く展開できます。

代表的な乗法公式は以下の3つです：

例題： \((x + 3)^2\) を展開しなさい。

解説：
\[(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\]
このように、公式をそのまま当てはめることで展開できます。

例題： \((2x – 5)^2\) を展開しなさい。

解説：
\[(2x – 5)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 – 20x + 25\]
符号に注意しながら計算しましょう。

例題： \((x + 4)(x – 4)\) を展開しなさい。

解説：
\[(x + 4)(x – 4) = x^2 – 4^2 = x^2 – 16\]
差の積は2乗の差になるという法則です。

例題： \((x + y + 2)^2\) を展開しなさい。

解説：
\[(x + y + 2)^2 = x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y\]
各項の2乗と組み合わせの積に注目して展開します。

例題： \((3x – 2)^2\) を展開しなさい。

解説：
\[(3x – 2)^2 = (3x)^2 – 2 \cdot 3x \cdot 2 + 4 = 9x^2 – 12x + 4\]
係数があるときも、まずはそれぞれの項をしっかり2乗・掛け算しましょう。

例題： \((a + 2b)^2\) を展開しなさい。

解説：
\[(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2b + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2\]
文字が異なっても、乗法公式はそのまま使えます。