目次
基本となる考え方
単項式とは、数・文字・その積からなる式で、項が一つだけのものを言います。 例えば、\( 3x \)、\( -2a^2b \)、\( \frac{1}{2}xy \) などが単項式です。
多項式とは、複数の単項式を足し合わせた式のことです。 たとえば、\( 3x + 2 \)、\( x^2 – 4x + 7 \) などが多項式です。
また、単項式・多項式における次数とは、文字の指数の和を意味します。 例：\( 3x^2y \) の次数は \(2 + 1 = 3\)、\( x^2 + 3x + 2 \) は2次多項式です。
例題1：単項式の積
例題： 次の単項式をかけなさい。
\( 3x^2 \times (-2x^3) \)
\( 3x^2 \times (-2x^3) \)
解き方：
数字の部分をかけ合わせ、文字の部分は同じ文字ごとに指数を足すのが基本です。
数字の部分をかけ合わせ、文字の部分は同じ文字ごとに指数を足すのが基本です。
- 数の部分：\( 3 \times (-2) = -6 \)
- 文字の部分：\( x^2 \times x^3 = x^{2+3} = x^5 \)
例題2：多項式の加法と減法
例題： 次の式を計算しなさい。
\( (2x^2 + 3x – 5) + (x^2 – 4x + 1) \)
\( (2x^2 + 3x – 5) + (x^2 – 4x + 1) \)
解き方：
同類項（同じ文字・次数）をまとめて計算します。
同類項（同じ文字・次数）をまとめて計算します。
- \( 2x^2 + x^2 = 3x^2 \)
- \( 3x – 4x = -x \)
- \( -5 + 1 = -4 \)
例題3：多項式の乗法
例題： 次の式を展開しなさい。
\( (x + 2)(x – 3) \)
\( (x + 2)(x – 3) \)
解き方：
分配法則を使ってすべての項をかけ合わせます。
答え： \( x^2 – x – 6 \)
分配法則を使ってすべての項をかけ合わせます。
- \( x \times x = x^2 \)
- \( x \times (-3) = -3x \)
- \( 2 \times x = 2x \)
- \( 2 \times (-3) = -6 \)
答え： \( x^2 – x – 6 \)
発展：多項式の次数と整理
多項式の計算では、整理された形で書くことが重要です。次数の高い順に並べ、同類項は必ずまとめる習慣をつけましょう。
例題： 次の式を展開して整理しなさい。
\( (2x – 1)^2 \)
\( (2x – 1)^2 \)
解き方：
公式：\( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \) を使うと簡単です。
公式：\( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \) を使うと簡単です。
- \( (2x)^2 = 4x^2 \)
- \( 2 \times 2x \times 1 = 4x \)、符号に注意して \( -4x \)
- \( (-1)^2 = 1 \)
ここまでで、単項式と多項式の基本から発展まで、豊富な例題と丁寧な解説で学びました。 理解を深めるには、自分でたくさん練習することが何より大切です！
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